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| Ría de Pontevedra |
El
concepto de derivada surgió como resultado de algunos siglos de esfuerzo
dirigidos a resolver dos problemas: determinar la recta tangente a una curva en
uno de sus puntos y encontrar velocidades instantáneas en movimientos no
uniformes. Estos problemas interesaron a los matemáticos desde tiempos
antiguos, pero hasta el siglo XVI, la resolución de cada problema particular se
hacía mediante un método específico no generalizable a otros problemas
similares.
En
el siglo XVII, los conocimientos acumulados hasta entonces permitieron a Newton
y Leibniz dar una respuesta teórica y completa a todos estos tipos de problemas,
mediante la invención de la derivada. Un siglo después, Euler contribuyó a
mejorarla. No obstante, la base lógica y, por tanto, los conceptos formales
desarrollados por estos matemáticos fueron insuficientes para el cálculo de
derivadas fuera un proceso claro y sistemático. Fue Cauchy, a comienzos del
siglo XIX, quien al relacionar de forma clara el concepto de derivada con el de
límite, consiguió un respaldo formal básico gracias al cual el cálculo de
derivadas se redujo a sencillas operaciones formales. Tanto es así, que un
estudiante actual de Bachillerato (que curse matemáticas) maneja estos procedimientos con
mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy.
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Figura 1 - Agustin Louis Cauchy
(1789-1857
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Es
cierto que Cauchi simplificó mucho los procedimientos para realizar el cálculo
de derivadas. Ya que con una tabla de sencillas fórmulas podemos calcular
cualquier derivada (figura 2). Pero también es cierto que algunas de estas
fórmulas si no se ven con un ejemplo no se pueden entender.
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| Figura 2 - Tabla de derivadas |
Esta
entrada está dedicada a aquellos estudiantes de química, que por el motivo que
sea no han cursado matemáticas en bachillerato (o han cursado unas matemáticas
que no son adecuadas para esta rama).
En
química, es necesario saber derivar, principalmente en las asignaturas
relacionadas con química-física. En esta entrada, lo que voy a intentar
conseguir es que cualquier persona sabiendo sumar, restar, multiplicar y
dividir; propiedades de las potencias que recordaré en la entrada; y algo de
trigonometría que pondré en la entrada cuando hable de las fórmulas referentes pueda
dominar lo básico de derivadas que se necesita para química.
Un
aspecto que lía bastante a los estudiantes es que cuando les enseñan a derivar
en matemáticas, están acostumbrados a expresar las derivadas como f´(x) = … y
de repente ven df/dx, y dicen ¿Qué es esto? Me acaban de decir que iba a
necesitar derivadas, pero yo no las veo por ninguna parte, sólo veo símbolos y
letras ¿Qué significa todo esto?
Realmente
f’(x) y df/dx es lo mismo, significa aplica las fórmulas de derivación para calcular
la derivada de f con respecto a x, todo lo que no sea x considéralo como si
fuera un número (lo que se denomina una constante).
Y aunque tengamos claro esto, es posible que
una vez que lleves mucho tiempo sin hacer derivadas te surjan dudas, y cuando
te aparezca alguna derivada en alguna asignatura te líes. El propósito de esta
entrada es hacer un resumen de todas las derivadas necesarias para
química-física.
-LAS BÁSICAS:
i)La
derivada de un número es 0
ii)La
derivada de un número multiplicado por x es ese número
iii)La
derivada de xalgo es, algo multiplicado por xalgo-1
Antes
de seguir avanzando, es necesario repasar algunos aspectos relacionados con las
propiedades de las potencias.
Si
aplicas estas propiedades, puedes derivar cualquier raíz.
iv)
Raíz cuadrada:
-ALGO ELEVADO A X
(EXPONENCIALES)
Siendo
algo un número (una constante) y x una variable. Es el número elevado a algo
multiplicado por el logaritmo neperiano del número.
i)
La
derivada de ealgo es ealgo (¡OJO SÓLO APLICABLE PARA CUANDO
ALGO ES UNA VARIABLE)
ii)
La
derivada de aalgo es aalgoln(a) (aprendiste esta y haces
cualquiera)
-DERIVADA DE LA SUMA O DE LA RESTA:
Es
la suma o resta de derivadas.
Haces la derivada de x2
(xalgo) y le sumas la derivada de ex (exponencial).
-MULTIPLICACIÓN:
Derivada
del primero · el segundo sin derivar + derivada del segundo · el primero sin
derivar
Derivas 3x (algo·x) lo
multiplicas por 5x y le sumas la derivada de 5x(exponencial(algox))
multiplicada por 3x
-DIVISIÓN:
La
derivada de 3x es 3 y esto lo multiplicas por (x+1) y le restas la derivada de (x+1) multiplicado
por 3x y todo ello lo divides entre (x+1)2 “el de abajo al cuadrado”.
(x+1)
es una suma, por lo que para derivarlo hay que hacer primero la derivada de x y
después la derivada de 1 y multiplicarlas.
La
derivada de x es 1 y la derivada de un número es 0.
Este
ejemplo se resuelve exactamente igual que el anterior, pero hay que tener
especial cuidado con los – que he resaltado en rojo.
-REGLA DE LA CADENA:
Es
muy habitual tener que usarla en química. Por ejemplo, cuando hay que hacer el
cálculo de distribuciones de probabilidad.
Antes
de meternos de lleno con ella, vamos a recordar algunas propiedades de las
potencias y ciertas simplificaciones matemáticas.
Se
utiliza cuando tenemos una función dentro de otra y se basa en derivar a
trozos. Su uso se ve más claro con ejemplos, por tanto vamos a ello.
En
este caso es como si tuvieras ex y dentro de ella 2x.
Derivas
una cosa y lo multiplicas por todo, y luego derivas la otra cosa como si
tuviera una x. Es decir, tocas la parte de fuera pero la de dentro no la tocas.
Para
acabar de entender esto, es necesario ver más ejemplos, y eso haremos. Vamos a
ver cuatro ejemplos más. El primero es del estilo al que ya hemos visto, pero con
un grado más de complejidad. Los siguientes son el resultado de aplicar alguna
de las simplificaciones que vimos al principio de todo, antes de empezar a
explicar la regla de la cadena.
Antes
de continuar es necesario ver más propiedades de las potencias y más
simplificaciones:
-TRIGONOMÉTRICAS:
La tangente de x o bien
se deduce o bien te lo aprendes de memoria, yo voy a explicar como se deduce,
pero para ello es necesario recordar una serie de cosas de trigonometría.
-TRIGONOMÉTRICAS CON LA REGLA
DE LA CADENA:
Tienes cosx que tiene
dentro a 2x, derivas 2x y lo multiplicas por cos(2x) (esto no lo tocas) y luego
lo multiplicas por la derivada de cos (x) con 2x dentro (2x no lo tocas).
Con
esto deberías tener suficiente para las asignaturas de química-física de
química. Esta entrada pretende ser un recordatorio para los que lo vieron en
algún momento de su vida y un resumen con lo más importante. Si necesitas más
información sobre derivadas, te aconsejo que veas los videos de Youtube de
Unicoos sobre este tema ya que lo explica muy bien.
7 de Octubre de 2018
Descubrirlaquimica. Estudiante de química en la USC. Miembro de la SXGQ. @descubrequimica (Twitter). Descubrir la Química (Facebook)
