domingo, 7 de octubre de 2018

Guía de derivación sencilla para químicos

Ría de Pontevedra

El concepto de derivada surgió como resultado de algunos siglos de esfuerzo dirigidos a resolver dos problemas: determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos y encontrar velocidades instantáneas en movimientos no uniformes. Estos problemas interesaron a los matemáticos desde tiempos antiguos, pero hasta el siglo XVI, la resolución de cada problema particular se hacía mediante un método específico no generalizable a otros problemas similares.

En el siglo XVII, los conocimientos acumulados hasta entonces permitieron a Newton y Leibniz dar una respuesta teórica y completa a todos estos tipos de problemas, mediante la invención de la derivada. Un siglo después, Euler contribuyó a mejorarla. No obstante, la base lógica y, por tanto, los conceptos formales desarrollados por estos matemáticos fueron insuficientes para el cálculo de derivadas fuera un proceso claro y sistemático. Fue Cauchy, a comienzos del siglo XIX, quien al relacionar de forma clara el concepto de derivada con el de límite, consiguió un respaldo formal básico gracias al cual el cálculo de derivadas se redujo a sencillas operaciones formales. Tanto es así, que un estudiante actual de Bachillerato (que curse  matemáticas) maneja estos procedimientos con mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy.

Figura 1 - Agustin Louis Cauchy (1789-1857

Es cierto que Cauchi simplificó mucho los procedimientos para realizar el cálculo de derivadas. Ya que con una tabla de sencillas fórmulas podemos calcular cualquier derivada (figura 2). Pero también es cierto que algunas de estas fórmulas si no se ven con un ejemplo no se pueden entender. 

Figura 2 - Tabla de derivadas
 
Esta entrada está dedicada a aquellos estudiantes de química, que por el motivo que sea no han cursado matemáticas en bachillerato (o han cursado unas matemáticas que no son adecuadas para esta rama).

En química, es necesario saber derivar, principalmente en las asignaturas relacionadas con química-física. En esta entrada, lo que voy a intentar conseguir es que cualquier persona sabiendo sumar, restar, multiplicar y dividir; propiedades de las potencias que recordaré en la entrada; y algo de trigonometría que pondré en la entrada cuando hable de las fórmulas referentes pueda dominar lo básico de derivadas que se necesita para química.

Un aspecto que lía bastante a los estudiantes es que cuando les enseñan a derivar en matemáticas, están acostumbrados a expresar las derivadas como f´(x) = … y de repente ven df/dx, y dicen ¿Qué es esto? Me acaban de decir que iba a necesitar derivadas, pero yo no las veo por ninguna parte, sólo veo símbolos y letras ¿Qué significa todo esto?

Realmente f’(x) y df/dx es lo mismo, significa aplica las fórmulas de derivación para calcular la derivada de f con respecto a x, todo lo que no sea x considéralo como si fuera un número (lo que se denomina una constante).

 Y aunque tengamos claro esto, es posible que una vez que lleves mucho tiempo sin hacer derivadas te surjan dudas, y cuando te aparezca alguna derivada en alguna asignatura te líes. El propósito de esta entrada es hacer un resumen de todas las derivadas necesarias para química-física.


-LAS BÁSICAS:

i)La derivada de un número es 0



ii)La derivada de un número multiplicado por x es ese número


iii)La derivada de xalgo es, algo multiplicado por xalgo-1

 
Antes de seguir avanzando, es necesario repasar algunos aspectos relacionados con las propiedades de las potencias.

 
Si aplicas estas propiedades, puedes derivar cualquier raíz.

iv) Raíz cuadrada:


-ALGO ELEVADO A X (EXPONENCIALES)

Siendo algo un número (una constante) y x una variable. Es el número elevado a algo multiplicado por el logaritmo neperiano del número.



i)      La derivada de ealgo es ealgo (¡OJO SÓLO APLICABLE PARA CUANDO ALGO ES UNA VARIABLE)
ii)     La derivada de aalgo es aalgoln(a) (aprendiste esta y haces cualquiera)



 
-DERIVADA DE LA SUMA O DE LA RESTA:

Es la suma o resta de derivadas.

 
Haces la derivada de x2 (xalgo) y le sumas la derivada de ex (exponencial).

-MULTIPLICACIÓN:

Derivada del primero · el segundo sin derivar + derivada del segundo · el primero sin derivar


 
Derivas 3x (algo·x) lo multiplicas por 5x y le sumas la derivada de 5x(exponencial(algox)) multiplicada por 3x

 
-DIVISIÓN:


La derivada de 3x es 3 y esto lo multiplicas por (x+1)  y le restas la derivada de (x+1) multiplicado por 3x y todo ello lo divides entre (x+1)2 “el de abajo al cuadrado”.

(x+1) es una suma, por lo que para derivarlo hay que hacer primero la derivada de x y después la derivada de 1 y multiplicarlas.

La derivada de x es 1 y la derivada de un número es 0.


 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que el anterior, pero hay que tener especial cuidado con los – que he resaltado en rojo.


-REGLA DE LA CADENA:

Es muy habitual tener que usarla en química. Por ejemplo, cuando hay que hacer el cálculo de distribuciones de probabilidad.

Antes de meternos de lleno con ella, vamos a recordar algunas propiedades de las potencias y ciertas simplificaciones matemáticas.

Se utiliza cuando tenemos una función dentro de otra y se basa en derivar a trozos. Su uso se ve más claro con ejemplos, por tanto vamos a ello.

 
En este caso es como si tuvieras ex y dentro de ella 2x.

Derivas una cosa y lo multiplicas por todo, y luego derivas la otra cosa como si tuviera una x. Es decir, tocas la parte de fuera pero la de dentro no la tocas.

Para acabar de entender esto, es necesario ver más ejemplos, y eso haremos. Vamos a ver cuatro ejemplos más. El primero es del estilo al que ya hemos visto, pero con un grado más de complejidad. Los siguientes son el resultado de aplicar alguna de las simplificaciones que vimos al principio de todo, antes de empezar a explicar la regla de la cadena.


Antes de continuar es necesario ver más propiedades de las potencias y más simplificaciones:




-TRIGONOMÉTRICAS:

La tangente de x o bien se deduce o bien te lo aprendes de memoria, yo voy a explicar como se deduce, pero para ello es necesario recordar una serie de cosas de trigonometría.


  -TRIGONOMÉTRICAS CON LA REGLA DE LA CADENA: 



Tienes cosx que tiene dentro a 2x, derivas 2x y lo multiplicas por cos(2x) (esto no lo tocas) y luego lo multiplicas por la derivada de cos (x) con 2x dentro (2x no lo tocas).



  

Con esto deberías tener suficiente para las asignaturas de química-física de química. Esta entrada pretende ser un recordatorio para los que lo vieron en algún momento de su vida y un resumen con lo más importante. Si necesitas más información sobre derivadas, te aconsejo que veas los videos de Youtube de Unicoos sobre este tema ya que lo explica muy bien.

7 de Octubre de 2018
 
Descubrirlaquimica. Estudiante de química en la USC. Miembro de la SXGQ. @descubrequimica (Twitter). Descubrir la Química (Facebook)




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